摘要：Bathe 算法将浸润面确定问题转变为常规的非线性本构问题，Signorini 条件将出溢面边界转化为常规的水头边界进行处理。由于非饱和渗流问题本身就是一个非线性渗透本构问题，将上述2 种方法的联合使用，避免变分不等式的求解，在常规非线性有限元求解框架内做最小程度的改动基础上，实现饱和–非饱和渗流的求解，着重探讨以下几个问题：(1) Bathe 方法收敛性的改善及其修正系数的三维推广；(2) 适用渗流问题的Signorini 条件边界交换算法及其实现；(3) 提高非饱和非稳定渗流问题求解收敛性及质量守恒性的欠松弛处理方法。最后，通过典型的算例，讨论上述算法应用中的一些问题及其适用性和精度。
1 引言
目前，非承压渗流问题求解既可利用饱和土渗流理论也可采用非饱和土渗流理论进行求解。非饱和土渗流理论包含饱和渗流理论，两者控制方程完全相同[1-2]。不过，非饱和土渗流认为土体的渗透系数不仅取决于土体的性质，也和压力水头大小密切相关。利用非饱和土求解渗流问题无须区分饱和区和非饱和区，使得饱和和非饱和渗流的求解得到统一，此方法有广泛应用前景。但是非饱和土体渗透系数与水头压力的关系并不能轻易获取，且工程上关注重点也往往是饱和区部分的流态和压力分布，所以应用上常将渗透系数与水头压力关系简化为Heaviside 阶跃函数，进行非承压饱和渗流的求解。这个简化处理方法在保证饱和区域求解精度的基础上牺牲了非饱和区的求解结果。Bathe 方法就是运用了这种简化[3]。
Bathe 方法是属于固定网格方法，在求解过程中有限元网格保持不变。求解非承压饱和渗流问题方法中，在属于固定网格方法还有Desai 的残余流量动法[4]、张有天等[5]的初流量法以及著名的Lacy方法(或称为截止负压法)[6]等。虽然这些方法推导基础不尽相同，但最后都可归求解一个由Heaviside函数引起的类似于刚塑性材料非线性问题，进入经典材料非线性有限元框架中利用Newton-Raphson(NR)方法进行求解。当然，由于Heaviside 函数阶跃性，利用此类方法对非承压饱和渗流进行求解有时会遇到一些收敛问题。王 媛[7]对Heaviside 函数进行了线性微调，引入单元调整参数1 和2 ，改善此类方法的收敛性。
与固定网格方法对应，求解非承压饱和渗流问题另一类方法是网格(节点)调整法。该方法通过调 整单元节点，使浸润面与节点位置一致，且不穿过任一单元的边，使得计算区域与饱和区一致。此方法概念清晰，是求解非承压饱和渗流问题一直在沿用的方法，但在处理非均质土体渗流时，常因为相邻土体之间渗透系数相差较大，界面的节点难以调整导致求解失败。另外，由于网格变动，当与岩土有限元应力的耦合计算也不方便。基于此，此方法目前有被固定网格取代的趋势。
无论哪种方法，都不可避免地涉及另一个问题：出溢面的确定。但建模时，出溢面的确切范围并不知道 ，需经计算迭代确定。此问题有许多不同的解决方法。如A. Larabi 和F. D. E. Smedt[8]的做法是一开始将潜在出溢边界设为定水头边界，如果计算的节点流量为正(渗入土体)，则在下一步计算中将该结节设为不透水边界，直至收敛。但实践表明，此方法的收敛性并不好，容易出现振荡现象。C. S.Desai 和G. C. Li[4]的做法则是在潜在出溢面上附加一层强透水单元的方法进行解决，但郑 宏等[9]指出，此方法在处理多个出溢点时并不方便。H. Zheng等[10]指出，潜在的出溢面满足Signorini 条件，并建立全域上的变分不等式，利用非完全互补算法进行有限元求解。Signorini 条件在非承压饱和渗流问题上应用，在数学将出溢边界及不透水边界统一处理，较好解决了出溢面的确定问题。但是，郑 宏教授提出的方法最后是求解一组离散的变分不等式，求解方法相对复杂。其实，Signorini 边界条件是一种在接触问题的经常遇到边界，在常规有限元求解框架中，已有相对成熟的迭代算法，如J. M. Aitchison和M. W. Poole 等[11]提出的交换算法(switchingalgorithm)。该算法通过Dirichlet 和Neumann 边界的交换处理，在几乎不改动常规有限元求解框架的基础上，方便地实现Signorini 边界的处理。
本文在Bathe 算法的基础上，提出适合渗流问题的交换算法实现Signorini 边界条件的模拟，并以此确定渗流出溢面。Bathe 算法与Signorini 条件的联合应用，将非承压饱和渗流问题转化为一般的非线性本构问题，利用常规的NR 算法实现非承压渗流问题的求解，包括非稳定流和非饱和流的问题。
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